La teoría de la mayorización constituye una herramienta matemática fundamental para el estudio de la información cuántica y desempeña un papel central en diversos problemas relacionados con la computación y la comunicación cuánticas. En particular, proporciona el lenguaje adecuado para caracterizar la estructura del entrelazamiento, estudiar la convertibilidad de estados mediante operaciones locales y comunicación clásica (LOCC), analizar recursos cuánticos y formular relaciones de incertidumbre de interés para el procesamiento de información.
El curso integra conceptos de álgebra lineal, teoría de matrices, teoría de la información y mecánica cuántica, mostrando cómo estas herramientas permiten abordar problemas fundamentales de la información cuántica. En este marco, se introducen resultados ampliamente utilizados en algoritmos cuánticos, protocolos de comunicación cuántica, teoría del entrelazamiento y teoría de recursos, proporcionando además una perspectiva moderna sobre los fundamentos matemáticos del procesamiento cuántico de la información.
El curso se organiza en tres grandes ejes:
1. Fundamentos de la teoría de la mayorización
• Mayorización como relación de orden parcial entre vectores de probabilidad.
• Curvas de Lorenz.
• Matrices doblemente estocásticas.
• Funciones de Schur cóncavas.
• Entropías generalizadas.
• Teorema de Schur-Horn y su relación con matrices hermíticas.
2. Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica
• Notación de Dirac.
• Postulados de la teoría cuántica.
• Estados puros y estados mixtos.
• Mediciones proyectivas y generalizadas.
• Regla de Born.
• Mapas cuánticos.
• Sistemas compuestos, operadores de densidad, traza parcial y descomposición de Schmidt.
3. Aplicaciones a la información y computación cuánticas
• Teorema de mezcla de Schrödinger.
• Entropías cuánticas.
• Criterios de separabilidad basados en mayorización.
• Transformaciones de estados mediante operaciones locales y comunicación clásica (LOCC).
• Teorema de Nielsen.
• Teleportación cuántica.
• Medidas de entrelazamiento.
• Relaciones de incertidumbre.
Este curso está orientado a estudiantes e investigadores interesados en la teoría de la información cuántica, la computación cuántica y los fundamentos matemáticos que sustentan estas áreas. Se recomienda contar con conocimientos básicos de álgebra lineal y mecánica cuántica.
Desarrollado por el Departamento de Computación, FCEyN, UBA